Kalman

卡尔曼滤波在目标跟踪中的作用大致可以分为两个部分：预测和最优估计。

数学原理

1. 状态预测方程：
   $$
   \mathbf{\hat{x}}{k|k-1} = \mathbf{A} \mathbf{\hat{x}}{k-1|k-1} + \mathbf{B} \mathbf{u}{k-1}
   $$
   其中，$\mathbf{\hat{x}}{k|k-1}$ 是状态预测值，$\mathbf{A}$ 是状态转移矩阵，$\mathbf{B}$ 是控制矩阵，$\mathbf{u}_{k-1}$ 是控制输入。

2. 预测误差协方差方程：
   $$
   \mathbf{P}{k|k-1} = \mathbf{A} \mathbf{P}{k-1|k-1} \mathbf{A}^T + \mathbf{Q}
   $$
   其中，$\mathbf{P}_{k|k-1}$ 是预测误差协方差矩阵，$\mathbf{Q}$ 是过程噪声协方差矩阵。

3. 卡尔曼增益方程：
   $$
   \mathbf{K}k = \mathbf{P}{k|k-1} \mathbf{H}^T (\mathbf{H} \mathbf{P}_{k|k-1} \mathbf{H}^T + \mathbf{R})^{-1}
   $$
   其中，$\mathbf{K}_k$ 是卡尔曼增益，$\mathbf{H}$ 是观测矩阵，$\mathbf{R}$ 是观测噪声协方差矩阵。

4. 状态更新方程：
   $$
   \mathbf{\hat{x}}{k|k} = \mathbf{\hat{x}}{k|k-1} + \mathbf{K}k (\mathbf{z}k - \mathbf{H} \mathbf{\hat{x}}{k|k-1})
   $$
   其中，$\mathbf{\hat{x}}{k|k}$ 是更新后的状态估计值，$\mathbf{z}_k$ 是观测值。

5. 更新误差协方差方程：
   $$
   \mathbf{P}{k|k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}k \mathbf{H}) \mathbf{P}{k|k-1}
   $$
   其中，$\mathbf{P}{k|k}$ 是更新后的误差协方差矩阵，$\mathbf{I}$ 是单位矩阵。

在追踪任务中的应用

最优估计

可以理解为将过去轨迹和当前检测结果加权，得到一个更加平滑的结果。

预测

根据模型（往往采用的是匀速直线运动模型）计算得到下一时刻的目标状态，使得匹配更加准确（因为目标在运动）。